Wassermenge einer Regentonne


\(\\\)

Aufgabe 1 Integral

Wir definieren \(f_1(x)\) als \(h(x)\) und berechnen das Integral.

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Bei dem Graphen von \(G_1\) geben die Funktionswerte den Zufluss und den Abfluss des Wassers an und die eingeschlossenen Flächen von \(G_1\) und der \(x\)-Achse die Wassermenge in \(m^3\) an.

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\(\\\) Zunächst fließt Wasser zu. Der Zufluss des Wassers wird wird dann weniger bis er bei der Nullstelle zum Erliegen kommt. Danach fließt Wasser in unterschiedlicher Stärke wieder ab. Bei \(x=3\) kommt der Zufluss und Abfluss abermals zum Erliegen.

Haben wir nun als Integralwert genau Null heraus, so bedeutet das, dass genau soviel Wasser zugeflossen wie abgeflossen ist. Wir haben also um 15:00 Uhr den gleichen Wasserstand wie um 12:00 Uhr.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 maximale Wassermenge

Funktion der Wassermenge

Die Wassermenge in der Regentonne wird mit Anfangsvolumen \(c\) beschrieben mit

\( \quad w(x) = \displaystyle{\int} h(x) dx + c \)

\(\\\)

Wir berechnen \(c\) mit

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\(\\\)

Wir definieren Volumenfunktion \(w(x)\) des Wassers in der Regentonne.

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\(\\[1em]\)

Maximum

notwendige Bedingung

Für das Maximum gilt \(w'(x)=0\) .

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\(\\[1em]\)

hinreichende Bedingung

\(h(x)\) , und damit auch \(w(x)\) , ist nur beschrieben für \(0 \leq x \leq 3\). Es kommen als Maximum nur \(x=1{,}366025404\) oder \(x=3\) in Frage. Wir überprüfen die Werte mit \(w''(x)\).

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\(\\\)

Es ist nur \(w''(1{,}366025404)<0\). Damit haben wir ein Maximum bei \(x=1{,}366025404\). Die maximale Wassermenge berechnen wir mit

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\(\\\)

In der Zeit von 12:00 Uhr bis 15:00 Uhr haben wir eine maximale Wassermenge von \(2{,}22 \; m^3\) in der Regentonne.

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